基本三角函数的积分

1. $$\int \sin x dx=-\cos x+C$$
2. $$\int \cos x dx=\sin x+C$$
3. $$\int \tan x dx=-\ln |\cos x|+C$$
4. $$\int \sec x dx = \ln |\sec x + \tan x|+C$$
5. $$\int \csc x dx = \ln |\csc x - \cot x|+C$$

类型1

1. $$\int \frac{1}{(x^2-2x+2)^2}dx$$

   分母为二次最简式，尝试写成$((x-c)^2+A)^2$的形式。 分母

   $$(x^2-2x+2)^2 = ((x-1)^2+1)^2$$

   令$x-1=\tan x$，则$x=\tan x +1$

   分母为$((\tan t)^2+1)^2=\sec^4 t$

   $dx = \sec^2 t$

   于是，原式为

   $$ \begin{split} I &= \int \frac{1}{(x^2-2x+2)^2}dx \\\\ &= \int \frac{1}{\sec^4 t} \sec^2 t dt \\\\ &= \int \cos^2 t dt \\\\ &= \frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}+C \\\\ &= \frac{t}{2}+\frac{\sin t \cos t}{2}+C \\\\ \end{split} $$

   注意到， 在三角形中，