定义
约定有理真分式
$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{c_0(x-a)^k(x^2+px+q)^l}$$,（其中$k$,$l$是正整数，$p^2-4q<0$） 可唯一因式分解为有限个最简有理分式之和，即
$$ \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k} + \frac{B_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{B_2x+D_2}{x^2+px+q}+\cdots+\frac{B_lx+D_l}{x^2+px+q} $$化简
一些例题往往不是上面的形式，但有的可以进行化简。
分母化低次
例如分母为$(x+1)^3(x^3+1)^2$，其中的
$$ \begin{split} (x^3+1)^2 &= (x+1)^2(x^2-x+1)^2 \end{split} $$因此分母可写为，
$$ (x+1)^5(x^2-x+1)^2 $$分子化低次
如果分母没问题，分子次数太高，需保证该分式为真分式。
求出$A_i,$ $B_l,$ $D_l$
待定系数
一言不合，直接开干。
直接通分后列出关于$A_i,$ $B_l,$ $D_l$的等式组，解出对应值。
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优点：
- 容易想到
- 简单的式子好用
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缺点：
- 难通分，通分时写许多式子，打开平方等
举教材中的一个例题
$$ \int \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} dx $$可设
$$ \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{Bx+D}{x^2+x+1} $$化简
$$ \begin{aligned} x+2 &= A(x^2+x+1)+(Bx+D)(2x+1) \\ &= (A+2B)x^2 + (A+B+2D)x +A+D \end{aligned} $$对应次数前的系数相等，因此
$$ \left \{ \begin{aligned} & A+2B = 0 \\ & A+B+2D = 1 \\ & A + D =2 \end{aligned} \right. $$解得，
$$ \left \{ \begin{aligned} & A =2 \\ & B =-1 \\ & D = 0 \end{aligned} \right. $$因此，原积分化为
$$ \begin{aligned} \int \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} dx &= \int (\frac{2}{2x+1}-\frac{x}{x^2+x+}) dx \\ &= \int \frac{2}{2x+1}dx- \int \frac{x}{x^2+x+1} dx \end{aligned} $$留数法
当设出
$$ \frac{x+2}{(2x+1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{Bx+D}{x^2+x+1} $$想要不通分，因为通分过程相当耗时，最后得到的一次方程组也不一定好解。 因此用留数和极限的技巧将A,B,D解出
求一次项待定系数A
如求$A$,两边乘上$A$下的分母$(2x+1)$,让$A$的分母消失
$$ \frac{x+2}{x^2+x+1}=A+\frac{(Bx+D)(2x+1)}{x^2+x+1} $$再令$2x+1=0$，即$x=-\frac{1}{2}$，让$A$右边的等式消失
$$ \begin{aligned} \frac{x+2}{x^2+x+1} & = A \\ \end{aligned} $$这时，直接得到A的分式，带入$x=-\frac{1}{2}$即可
$$ A=\frac{-\frac{1}{2}+2}{(-\frac{1}{2})^2+(-\frac{1}{2})+1}=2 $$求二次项的待定系数B,D
仿照上面求$A$的思路，不难想到也是两边乘上$(x^2+x+1)$，
$$ \frac{x+2}{2x+1}=\frac{A(x^2+x+1)}{2x+1}+Bx+D $$再令$x^2+x+1=0$，解出$x$
注意到，$x$的解是两个复数根，不好求，求出来代入也不好化简。因此要另想办法。
回到刚才求$A$时，两边乘上$(2x+1)$
$$ \begin{aligned} \frac{x+2}{x^2+x+1}=A+\frac{(Bx+D)(2x+1)}{x^2+x+1} \end{aligned} $$两边同时取$x \to \infty$的极限
$$ \begin{aligned} \lim_{x \to \infty}\frac{x+2}{x^2+x+1} & = \lim_{x \to \infty} [A+\frac{(Bx+D)(2x+1)}{x^2+x+1}] \\ 0 &= 2 + \lim_{x \to \infty}\frac{2Bx^2+2Dx+Bx+D}{x^2+x+1} \\ B &= -1 \end{aligned} $$再令$x=0$，（也可以是其他好算的值）
$$ \begin{aligned} 2 & = A + D \\ D &= 2-A =0 \end{aligned} $$