错误呈现
给出$3$阶矩阵$|A|=\frac{1}{2}$，求$|A^*|$.
一看有$|A|$和$|A^*|$，很容易联想到伴随矩阵的性质：
$$ AA^*=A*A=|A|E $$则
$$ \begin{aligned} |AA^*| =|A||A^*|&=||A|E| \\ &= |A||E| \\ &= |A| \end{aligned} $$两边约去$|A|$，得
$$ |A^*|=1 $$似乎题目给出的$|A|=\frac{1}{2}$是多余的。
错误分析
但是，这对吗？
这不对！
问题就出在将$||A|E|$最外层的 $||$去掉这一步
$$ \begin{aligned} ||A|E| & \ne |A||E| \\ ||A|E| &= |A|^3|E| \\ &= |A|^3 \end{aligned} $$总结
因此对于一个$n$阶矩阵$A$，$A$可逆，那么伴随矩阵：
$$ \begin{aligned} |A^*|=|A|^{n-1} \end{aligned} $$