什么是有理函数

设$f(x)$是定义在$D$上的函数，若存在$F(x)$，使得$f(x)$在$D$上的任一开区间上都有定义，且$F(x)$在$D$上连续，则称$F(x)$为$f(x)$的原函数，记作$F(x)=f(x)+C$，其中$C$是任意常数。

对于一个函数$f(x)$，若$f(x)$可以表示为以下形式：

其中$P(x)$和$Q(x)$是两个多项式函数，且$Q(x)$的最高次项系数不为0，则称$f(x)$为有理函数。

有理函数的积分方法

接下来逐级讨论不同复杂度的积分方法。这里设$P(x)$的最高次项为$p$，$Q(x)$的最高次项为$q$。

p=0, q>0的类型

1. $$\int \frac{1}{x}dx$$
2. $$\int \frac{1}{x+3}dx$$

   此类型可直接找出原函数，如(2)为 $ln|x+3|+C$。

   类似的，

   $$ \int \frac{1}{1+x^2} dx= \frac{1}{2} \arctan x +C, $$$$ \int \frac{1}{x^q}dx = \frac{x^{1-q}}{1-q} +C $$$$ \int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln |x+\frac{b}{a}| +C $$

   将x升高次数，令q=2

3. $$\int \frac{1}{x^2+3}dx$$

   此类型分母可以写成 $(x-c)^2 \pm a^2$的形式。

   如为$x^2+a^2$,

   $$ \int \frac{1}{x^2+a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan (\frac{x}{a}) +C $$
4. $$\int \frac{1}{x^2-3} dx$$

   该题与题$3$一样，不过分母变为$x^2-(\sqrt{3})^2$,

   如果分母为$x^2-a^2$,

   $$ \int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \int (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}) dx = \frac{1}{2a} \ln \mid \frac{x-a}{x+a} \mid +C $$
5. $$\int \frac{1}{x^2-5x}dx$$

   此类分母的二次方程常数为$0$，一次项系数不为$0$，即$\frac{1}{x^2+bx}$型 将分母化为$x(x+b)$ 即得，

   $$ \int \frac{1}{x^2+bx} dx = \frac{1}{b} \int (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+b})dx = \frac{1}{b} \ln \mid \frac{x}{x+b} \mid +C $$
6. $$\int \frac{1}{x^2+3x+2}dx$$

   此类分母的二次方程常数为$0$，一次项系数不为$0$，即$\frac{1}{x^2+bx}$型难以将分母化为上面的形式。 需将分母化为$(x-c)^2 \pm a^2$的形式 对于本题，不妨设

   $$(x-c)^2+A = x^2+3x+2$$

   解得，

   $$ \begin{matrix} c=-\frac{3}{2} \\A=-\frac{1}{4}\end{matrix} $$

   原式

   $$ = \int \frac{1}{(x+\frac{3}{2})^2-(\frac{1}{2})^2}dx $$

   再用$3.$与$4.$的方法进一步求出积分

p=1, q>1的类型

1. $$\int \frac{3x}{x^2+3x+4}dx$$

   此类分母的的一次项系数与常数项不为0，即$\frac{ax+c}{x^2+px+q}$型，且有$p^2-4aq<0$。此时分母在实数范围内无法写成$(x-a)(x-b)$的形式。我们称此时分母最简。

   对于本题，不妨设$u=x^2+3x+4$,$du = 2x+3$ 分子

   $$3x=\frac{3}{2}[(2x+3)-\frac{9}{2}]$$$$ I = \frac{3}{2}(\int \frac{2x+3}{x^2+3x+4}dx - \frac{9}{2} \int \frac{1}{x^+3x+4}dx) $$

   再用上述方法进一步求积分。

2. $$\int \frac{3x}{x^2+3x-4}dx$$

   此类分母的的一次项系数与常数项不为0，即$\frac{ax+c}{x^2+px+q}$型，且有$p^2-4aq>0$。此时分母在实数范围内可以写成$(x-a)(x-b)$的形式。

   将分母化为$(x+4)(x-1)$

   $$ I = \frac{3}{5} (\ln |\frac{x-1}{x+4}|) +C $$

   当然，也可以用$1.$的方法进一步求积分。

3. $$\int \frac{3x+3}{x^2+3x+4}dx$$

   分子有常数项，可以用$1.$和$2.$的思路。

   到现在，形如

   $$\int \frac{ax+c}{x^2+px+q}dx$$

   的积分可求

p=q=2的类型

1. $$\int \frac{3x^2+3x}{x^2+3x+4}dx$$

   分子和分母最高次均为2，可以将分母为基准进行参变分离。

   本题可化为，

   $$ \begin{align} I &= \int \frac{3(x^2+3x+4)-6x-12}{x^2+3x+4} dx \\ &= 3 \int dx - \int \frac{6x+12}{x^2+3x+4} dx \end{align} $$

   因此，形如，

   $$ \int \frac{ax^2+bx+c}{x^2+px+q}dx $$

   的积分可求。

q>p>2的类型

1. $$\int \frac{x^2+3x+4}{x^3+3x^2+2x}dx$$

   分子和分母最高次均大于2，可以将分母为基准因式分解。

   分母可化为, $x(x+1)(x+2)$. 原式化为，

   $$ \begin{split} I &= \int \frac{x^2+3x+4}{x(x+1)(x+2)}dx \\ &= \int ( \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1}+ \frac{1}{x+2})dx \end{split} $$
2. $$\int \frac{x^2+3x+4}{x^3+3x^2+2x+1}dx$$

   此时不可以将分母为基准因式分解，分部积分与换元积分均失效。 无法写成初等函数的形式。

p>q=2的类型

1. $$\int \frac{x^4}{x^2-3}dx$$

   此类可以用多项式的除法对分子进行分离。

   $$ \begin{split} &\underline{x^2+3} \\ x^2-3)&x^4 \\ &\underline{x^4-3x^2} \\ &3x^2 \\ &\underline{3x^2-9} \\ &9 \end{split} $$

   原式可以化为，

   $$ \begin{split} I = \int (x^2+3) + \frac{9}{x^2+3}dx \end{split} $$

   因此，形如，

   $$\int \frac{ax^p+mx^{p-1}+\cdots +C}{x^2+bx+c}dx$$

   的积分可求。

分母低次幂积型

约定有理真分式$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(x)}{c_0(x-a)^k(x^2+px+q)^l}$,（其中$k$,$l$是正整数，$p^2-4q<0$） 可唯一因式分解为有限个最简有理分式之和，即

满足上面要求，则可以用待定系数法改写成上述形式。

例题

最后，试试下面的例子。

相信聪明的你一定可以求出。