问题描述
给定：三个正整数$k$、$m$、$n$，表示一个群体中有：
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$k$个纯合显性个体（AA）
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$m$个杂合子个体（Aa）
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$n$个纯合隐性个体（aa）
要求：计算随机选取两个个体交配时，后代携带至少一个显性等位基因（即表现为显性性状）的概率。假设任意两个个体均可交配。
推导过程
这个随机事件可以分解为两步：
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第一步 随机选取两个个体
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第二步 统计所选取的个体交配的后代
第一步的结果会影响到第二步的结果，因此要用到全概率。
并且，
$$ P(A\_)=P(AA)+P(Aa)=1-P(aa) $$可以逆向先求出 $P(aa)$.
$$ \begin{aligned} P(aa) = P(AA,AA)P(aa|AA,AA) &+ P(AA,Aa)P(aa|AA,Aa) +\\ P(AA,aa)P(aa|AA,aa) &+ P(Aa,Aa)P(aa|Aa,Aa) + \\ P(Aa,aa)P(aa|Aa,aa) &+ P(aa,aa)P(aa|aa,aa) \end{aligned} $$其中，
$$ P(aa|AA,AA)=P(aa|AA,Aa)=P(aa|AA,aa)=0 $$因此，
$$ \begin{aligned} P(aa) &= P(Aa,Aa)P(aa|Aa,Aa) + P(Aa,aa)P(aa|Aa,aa) + P(aa,aa)P(aa|aa,aa) \\ &=\frac{C_m^2}{C_{k+m+n}^{2}} \times \frac{1}{4}+ \frac{C_m^1C_n^1}{C_{k+m+n}^2} \times \frac{1}{2}+ \frac{C_n^2}{C_{k+m+n}^2} \times 1 \\ &= \frac{2C_m^1C_n^1 + 4C_n^2 + C_m^2}{4C_{k+m+n}^2} \end{aligned} $$最后，
$$ \begin{aligned} P(A\_) &= 1-P(aa) \\ &= 1 - \frac{2C_m^1C_n^1 + 4C_n^2 + C_m^2}{4C_{k+m+n}^2} \end{aligned} $$